已知圆C:(x-3)²+（y-4)²=4直线l1过定点A（1,0） 1.若l1与圆小妾,求l1的方程

已知圆C:(x-3)²+（y-4)²=4直线l1过定点A（1,0） 1.若l1与圆小妾,求l1的方程；

2.若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M ,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证 ：|AM|*|AN|为定值

收藏：
0
点赞数：
0
评论数：
0
1个回答

1、由题,圆心(3,4)到切线距离等于半径r=2

设l1的斜率为k

当斜率不存在时,l1的方程为x=1,满足圆心到切线距离等于半径

当斜率存在时,设l1的方程为y-0=k(x-1),即kx-y-k=0

则圆心到直线l1的距离d＝|3k-4-k|/√(k²+1)=2

平方,得 k²-4k+4=k²+1

解得k=3/4

即,l1的方程为y＝3(x-1)/4

所以,l1的方程为x=1,或3x-4y-3=0

2、设直线l1的斜率为k,则

l1:y=k(x-1)

l2:x+2y+2=0

联立求出N点的坐标 N[(2k-2)/(2k+1),(-3)k/(2k+1)]

设M点坐标为(x0,k(x0-1) )

由圆心c的坐标C(3,4)

可得CM所在直线斜率k(cm)＝[4-k(x0-1)]/(3-x0)

又CM⊥PQ,即,k×k(cm)=-1

所以,k×[4-k(x0-1)]/(3-x0)＝-1

解得x0=(k²+4k+3)/(k²+1)

所以,

|AM|²＝[(4k+2)/(k²+1)]²+[k(4k+2)/(k²+1)]²＝(4k+2)²/(k²+1)＝4(2k+1)²/(1+k²)

|AN|²＝[(-3)/(2k+1)]²+[(-3)k/(2k+1)]²＝9(1+k²)/(2k+1)²

所以,

|AM|²×|AN|²

＝[4(2k+1)²/(1+k²)]×[9(1+k²)/(2k+1)²]

＝36

即,|AM|×|AN|＝6

所以,|AM|×|AN|为定值6

点赞数：
0
评论数：
0
相关问题
关注公众号
一起学习，一起涨知识