已知圆C:(x-3)²+（y-4)²=4直线l1过定点A（1,0） 1.若l1与圆小妾,求l1的方程
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1、由题,圆心(3,4)到切线距离等于半径r=2
设l1的斜率为k
当斜率不存在时,l1的方程为x=1,满足圆心到切线距离等于半径
当斜率存在时,设l1的方程为y-0=k(x-1),即kx-y-k=0
则圆心到直线l1的距离d＝|3k-4-k|/√(k²+1)=2
平方,得 k²-4k+4=k²+1
解得k=3/4
即,l1的方程为y＝3(x-1)/4
所以,l1的方程为x=1,或3x-4y-3=0
2、设直线l1的斜率为k,则
l1:y=k(x-1)
l2:x+2y+2=0
联立求出N点的坐标 N[(2k-2)/(2k+1),(-3)k/(2k+1)]
设M点坐标为(x0,k(x0-1) )
由圆心c的坐标C(3,4)
可得CM所在直线斜率k(cm)＝[4-k(x0-1)]/(3-x0)
又CM⊥PQ,即,k×k(cm)=-1
所以,k×[4-k(x0-1)]/(3-x0)＝-1
解得x0=(k²+4k+3)/(k²+1)
所以,
|AM|²＝[(4k+2)/(k²+1)]²+[k(4k+2)/(k²+1)]²＝(4k+2)²/(k²+1)＝4(2k+1)²/(1+k²)
|AN|²＝[(-3)/(2k+1)]²+[(-3)k/(2k+1)]²＝9(1+k²)/(2k+1)²
所以,
|AM|²×|AN|²
＝[4(2k+1)²/(1+k²)]×[9(1+k²)/(2k+1)²]
＝36
即,|AM|×|AN|＝6
所以,|AM|×|AN|为定值6
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