已知函数 f(x)=( 1 3 ) x ．
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（1）∵ f -1 (x)=lo g
1
3 x （x＞0），…（2分）
∴ f -1 (m x 2 +mx+1)=lo g
1
3 (m x 2 +mx+1) ，
由题知，mx 2+mx+1＞0恒成立，
∴1 0 当m=0时，1＞0满足题意；…（3分）
2 0 当m≠0时，应有
m＞0
△= m 2 -4m＜0 ⇒0＜m＜4 ，
∴实数m的取值范围为0≤m＜4．…（5分）
（2）∵x∈[-1，1]，∴ (
1
3 ) x ∈[
1
3 ，3] ，
y=f 2（x）-2af（x）+3= [(
1
3 ) x ] 2 -2a(
1
3 ) x +3=[(
1
3 ) x -a ] 2 +3- a 2 ，…（7分）
当 a＜
1
3 时， y min =g(a)=
28
9 -
2a
3 ；
当
1
3 ≤a≤3 时，y min=g（a）=3-a 2；
当a＞3时，y min=g（a）=12-6a．
∴ g(a)=
28
9 -
2a
3 (a＜
1
3 )
3- a 2 (
1
3 ≤a≤3)
12-6a(a＞3) ．
（3）∵m＞n＞3，∴g（x）=12-6x，在（3，+∞）上是减函数．
∵g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n 2，m 2]，
∴
12-6m= n 2
12-6n= m 2 ，
①
② …（12分）
②-①得：6（m-n）=（m+n）（m-n），
∵m＞n＞3，∴m+n=6．但这与“m＞n＞3”矛盾．
∴满足题意的m、n不存在． …（14分）
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