在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=[a/3

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=[a/3]，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ=______．

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解题思路：由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度．

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面A1B1C1D1．

∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，

∴MN∥PQ．

∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点

∴MN∥A1C1∥AC，

∴PQ∥AC，又AP=[a/3]，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，

∴CQ=[a/3]，从而DP=DQ=[2a/3]，

∴PQ=

DQ2+DP2=

(

2a

3)2+(

2a

3)2=

2

2

3a．

故答案为：

2

2

3a．

点评：

本题考点： 棱柱的结构特征．

考点点评： 本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明．

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