解题思路：这条平行线一定平行于两个平面的交线，即过一点做已知直线的平行线，有且只有一条，得到结果．
过点A且与α和β都平行的直线，
一定平行于两个平面的交线，
即过一点做已知直线的平行线，
有且只有一条
故选A．
点评：
本题考点： 平面的基本性质及推论．
考点点评： 本题考查平面的基本性质及推论，本题解题的关键是看清三个图形之间的关系，可以结合图形来说明问题．
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