如图,已知∠AOB=120°,OM平分∠AOB,将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上,两边分别与OA、OB(或其所在直线)交于点C、D.
(1)如图①,当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时,证明:PC=PD.
(2)如图②,当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时,线段PC和PD相等吗?请说明理由.
(3)如图③,当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时,线段PC和PD相等吗?直接写出你的结论,不需证明.
解题思路:(1)根据角平分线上的点到角的两边的距离相等直接回答;
(2)过P作OA、OB的垂线,构造图①的图形,利用(1)的结论证明PC、PD所在的三角形全等;
(3)仿(2)的证明可得PC=PD.
(1)证明:∵OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,
OM平分∠AOB,
∴∠CPO=∠OPD=30°,∠AOP=∠POB=60°,
∴PD⊥OB于D,
∴PC=PD.(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
(2)PC=PD.
过P点作PQ⊥OA于Q,PN⊥OB于N.
由(1)得 PQ=PN.
∵∠AOB=120°,
∴∠QPN=360°-90°-90°-120°=60°.
∴∠QPC=∠NPD=60°-∠CPN.
∴△PQC≌△PND.(ASA)
∴PC=PD.
(3)PC=PD.
点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等边三角形的性质.
考点点评: 此题考查全等三角形的判定和性质,由易到难层层递进,把握解题思路是关键.
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