已知△ABC,P为平面ABC外一点,且二面角P—AB—C与二面角P—AC—B及二面角P—BC—A均相等
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点O为△ABC的内心.

说明：

过点O分别作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC,垂足分别为点D、E、F

连结PD、PE、PF

由于PO⊥平面ABC

所以可知PD、PE、PF在平面ABC内的射影分别为：OD、OE、OF

由于OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC,所以由三垂线定理可得：

PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC

所以∠PDO、∠PEO、∠PFO分别是二面角P—AB—C与二面角P—AC—B及二面角P—BC—A

的平面角

已知二面角P—AB—C与二面角P—AC—B及二面角P—BC—A均相等

那么：∠PDO=∠PEO=∠PFO

而PO是Rt△PDO、Rt△PEO、Rt△PFO的公共边

所以证得：Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO （AAS）

所以：DO=EO=FO

这就是说点O到△ABC的三条边的距离相等

所以：点O为△ABC的内心.

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