若直线
过双曲线
的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若过点
与
轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点
的垂直平分线为
，求直线
在
轴上截距的取值范围.
（Ⅰ）
.（Ⅱ）直线
在
轴上的截距的取值范围为
试题分析：（Ⅰ）由
得
，
，且
，解得
故双曲线的方程为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，依题意可设过点
的直线为
由
得
，
，
，且
设
的中点
，则
，
故直线
的方程为
，即
所以直线
在
轴上的截距
，由
，且
得
，所以
.即直线
在
轴上的截距的取值范围为
点评：中档题，结合双曲线的几何性质，应用“待定系数法”求得了双曲线标准方程。研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往应用韦达定理，通过“整体代换”，简化解题过程，实现解题目的。（II）中根据方程组有解，确定得到直线斜率范围，易于忽视。
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