解题思路：（1）①由于∠DEC、∠FEB都是直角，那么∠DEF、∠CEB为同角的余角，由此可得∠DEF=∠CEB，同理可证得∠EDF=∠BCE，由此得证．
②此题可通过两步相似，即△DEC∽△PDC和△DEF∽△CEB，来证得PD=DF，从而求得y、x的函数关系式．
（2）由于△DEF、CEF同高，那么它们的面积比等于相似比，即DF：CF；而△DEF与△BEC相似，它们的面积比为：DF2：BC2，联立两式即可求得S△BEC与S△EFC的面积比的表达式，已知了两者的比例关系，联立（1）②的函数解析式即可求得x的值，即AP的长．（要注意的是，在表示DF长时，要分PD在线段DA上和DA延长线上两种情况）
（1）①∵∠DEC=∠FEB=90°，∴∠DEF=∠BEC；（1分）
∵∠EDF+∠DCP=∠BCE+∠DCP=90°，（1分）
∴∠EDF=∠BCE，∴△DEF∽△CEB．（1分）
②∵Rt△PDC中，DE⊥CP，∴∠CDP=∠CED=90°，
∴△DEC∽△PDC，∴[DE/EC＝
PD
DC]；（1分）
∵△DEF∽△CEB，（1分）
∴[DE/EC＝
DF
BC]，且BC=DC，
∴[PD/DC＝
DF
DC]，∴PD=DF；（1分）
∵AP=x，DF=y，∴PD=1-x，∴y=1-x（1分）（0＜x＜1）．（1分）
（2）∵△DEF∽△CEB，∴
S△DEF
S△CEB＝
DF2
CB2（1），（1分）
∵
S△DEF
S△CEF＝
DF
CF（2），∴（1）÷（2）得
S△cEF
S△CEB＝
DF•CF
CB2；（1分）
又∵S△BEC=4S△EFC，∴
S△cEF
S△CEB＝
DF•CF
CB2＝
1
4；（1分）
当P点在边DA上时，
有
(1−x)•x
1＝
1
4，解得x＝
1
2，（2分）
当P点在边DA的延长线上时，
(1+x)•x
1＝
1
4，解得x＝
2−1
2．（1分）
∴AP=
2−1
2．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-公式法；正方形的性质．
考点点评： 此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度较大，注意（2）题中分类讨论思想的运用．
