一道高数三重积分题、先一后二中的二是什么呢?见图片,
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先一：对z的积分
后二：关于x和y的二重积分、面积Dz是关于z的积分域
对于圆锥体,x² + y² = z²、截面为圆域x² + y² = z²、面积Dz = ∫∫(Dz) dxdy = πz²
对于球体,x² + y² + z² = 2az、截面为圆域x² + y² = 2az - z²、面积Dz = π(2az - z²)
所以Dz用面积公式求就是了,圆形就代圆面积,椭圆就代椭圆面积,三角形就代三角形面积等
之后可以将整个关于z的面积代入∫∫Dz dxdy
这快速方法是针对被积函数f(x,y,z)是只关于z的函数、例如这里的被积函数是z,没有x和y
若被积函数是xyz、就不能直接将面积代入,而是将∫∫Dz f(x,y) dxdy化为二次积分计算
例如被积函数只是关于z,∫∫Dz dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(z₁→z₂) r dr、其实就是面积π(z₂² - z₁²)
若被积函数是x²yz、则∫∫Dz xy dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(z₁→z₂) r³sinθcosθ dr、直接解,不能代入面积
