在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定直线x=-4的距离相等．
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（Ⅰ）设P（x，y），根据题意，2|PF|=d．
即：2
(x+1) 2 +y 2 =|4+x|，
平方化简得3x 2+4y 2=12，即
x 2
4 +
y 2
3 =1 ．
点P的轨迹是长轴、短轴长分别为4、2
3 ，焦点在x轴上的椭圆．
（Ⅱ）设直线L与轨迹C的交点为A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）两点．
联立方程得：
y=x+m
x 2
4 +
y 2
3 =1 ⇒7x 2+8mx+4m 2-12=0，
x 1+x 2=-
8m
7 ，x 1x 2=
4m 2 -12
7 ，
△=64m 2-4×7×4（m 2-3）=48（7-m 2）＞0
|AB|=
2 [ (x 1 +x 2 ) 2 - 4x 1 x 2 ] =
4
6
7 ×
7 -m 2 ．
点Q（1，1）到L：y=x+m的距离为
|m|
2 ．
∴S △=
1
2 ×
4
6
7 ×
7 -m 2 ×
|m|
2 =
2
3
7 ×
(7 -m 2 )m 2 ≤
2
3
7 ×
7 -m 2 +m 2
2 =
3 ．
当且仅当7-m 2=m 2，即m=±
14
2 时，满足△=48（7-m 2）＞0，
∴存在实数m= ±
14
2 ，使△ABQ的面积S最大，最大值为
3 ．
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