1、（安徽）按右图所示的流程,输入一个数据x,根据y与x的关系式就输出一个数据y,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应的新数据也较大.
（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x),请说明：当p＝ 时,这种变换满足上述两个要求；
（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的这种关系式.（不要求对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程）
【解】（1）当P= 时,y=x＋ ,即y= .
∴y随着x的增大而增大,即P= 时,满足条件（Ⅱ）……3分
又当x=20时,y= =100.而原数据都在20～100之间,所以新数据都在60～100之间,即满足条件（Ⅰ）,综上可知,当P= 时,这种变换满足要求；……6分
（2）本题是开放性问题,答案不唯一.若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时,y的对应值m,n能落在60～100之间,则这样的关系式都符合要求.
如取h=20,y= ,……8分
∵a＞0,∴当20≤x≤100时,y随着x的增大…10分
令x=20,y=60,得k=60 ①
令x=100,y=100,得a×802＋k=100 ②
由①②解得 , ∴ .………14分
2、（常州）已知 与 是反比例函数 图象上的两个点．
（1）求 的值；
（2）若点 ,则在反比例函数 图象上是否存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点 的坐标；若不存在,请说明理由．
（1）由 ,得 ,因此 ．2分
（2）如图1,作 轴, 为垂足,则 , , ,因此 ．
由于点 与点 的横坐标相同,因此 轴,从而 ．
当 为底时,由于过点 且平行于 的直线与双曲线只有一个公共点 ,
故不符题意．3分
当 为底时,过点 作 的平行线,交双曲线于点 ,
过点 分别作 轴, 轴的平行线,交于点 ．
由于 ,设 ,则 , ,
由点 ,得点 ．
因此 ,
解之得 （ 舍去）,因此点 ．
此时 ,与 的长度不等,故四边形 是梯形．5分
如图2,当 为底时,过点 作 的平行线,与双曲线在第一象限内的交点为 ．
由于 ,因此 ,从而 ．作 轴, 为垂足,
则 ,设 ,则 ,
由点 ,得点 ,
因此 ．
解之得 （ 舍去）,因此点 ．
此时 ,与 的长度不相等,故四边形 是梯形．7分
如图3,当过点 作 的平行线,与双曲线在第三象限内的交点为 时,
同理可得,点 ,四边形 是梯形．9分
综上所述,函数 图象上存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形为梯形,点 的坐标为： 或 或 ．10分
3、（福建龙岩）如图,抛物线 经过 的三个顶点,已知 轴,点 在 轴上,点 在 轴上,且 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出 三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点,是否存在 是等腰三角形．若存在,求出所有符合条件的点 坐标；不存在,请说明理由．
（1）抛物线的对称轴 ………2分
（2） …………5分
把点 坐标代入 中,解得 ………6分
…………………………………………7分
（3）存在符合条件的点 共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与 轴交于 ,与 交于 ．
过点 作 轴于 ,易得 , , ,
①以 为腰且顶角为角 的 有1个： ．
8分
在 中,
9分
②以 为腰且顶角为角 的 有1个： ．
在 中, 10分
11分
③以 为底,顶角为角 的 有1个,即 ．
画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ,此时平分线必过等腰 的顶点 ．
过点 作 垂直 轴,垂足为 ,显然 ．
．
于是 13分
14分
注：第（3）小题中,只写出点 的坐标,无任何说明者不得分．
4、（福州）如图12,已知直线 与双曲线 交于 两点,且点 的横坐标为 ．
（1）求 的值；
（2）若双曲线 上一点 的纵坐标为8,求 的面积；
（3）过原点 的另一条直线 交双曲线 于 两点（ 点在第一象限）,若由点 为顶点组成的四边形面积为 ,求点 的坐标．
(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 = 4时, = 2 .
∴ 点A的坐标为（ 4,2 ）.
∵ 点A是直线 与双曲线 （k>0）的交点 ,
∴ k = 4 ×2 = 8 .
(2) 解法一：如图12-1,
∵ 点C在双曲线 上,当 = 8时, = 1
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) .
过点A、C分别做 轴、 轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON .
S矩形ONDM= 32 , S△ONC = 4 , S△CDA = 9, S△OAM = 4 .
S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .
解法二：如图12-2,
过点 C、A分别做 轴的垂线,垂足为E、F,
∵ 点C在双曲线 上,当 = 8时, = 1 .
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ).
∵ 点C、A都在双曲线 上 ,
∴ S△COE = S△AOF = 4 .
∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .
∴ S△COA = S梯形CEFA .
∵ S梯形CEFA = ×（2+8）×3 = 15 ,
∴ S△COA = 15 .
（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,
∴ OP=OQ,OA=OB .
∴ 四边形APBQ是平行四边形 .
∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 .
设点P的横坐标为 （ > 0且 ）,
得P ( , ) .
过点P、A分别做 轴的垂线,垂足为E、F,
∵ 点P、A在双曲线上,∴S△POE = S△AOF = 4 .
若0＜ ＜4,如图12-3,
∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ .
解得 = 2, = - 8(舍去) .
∴ P（2,4）.
若 ＞ 4,如图12-4,
∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ ,
解得 = 8, = - 2 (舍去) .
∴ P（8,1）.
∴ 点P的坐标是P（2,4）或P（8,1）.
5、（甘肃陇南）如图,抛物线 交 轴于A、B两点,交 轴于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是 3,点B的横坐标是1．
(1)求 、 的值；
(2）求直线PC的解析式；
(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
PC的位置关系,并说明理由．(参考数： , , )
(1)由已知条件可知： 抛物线 经过A(-3,0)、B(1,0)两点．
∴ ……………………………………2分
解得 ． ………………………3分
(2) ∵ , ∴ P(-1,-2),C ． …………………4分
设直线PC的解析式是 ,则 解得 ．
∴ 直线PC的解析式是 ． …………………………6分
说明：只要求对 ,不写最后一步,不扣分．
(3) 如图,过点A作AE⊥PC,垂足为E．
设直线PC与 轴交于点D,则点D的坐标为(3,0)． ………………………7分
在Rt△OCD中,∵ OC= , ,
∴ ． …………8分
∵ OA=3, ,∴AD=6． …………9分
∵ ∠COD=∠AED=90o,∠CDO公用,
∴ △COD∽△AED． ……………10分
∴ , 即 ． ∴ ． …………………11分
∵ ,
∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． …………12分
6、（贵阳）如图14,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留 ）．（3分）
（2）在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由．（4分）
（3）当 的半径 为任意值时,（2）中的结论是否仍然成立?请说明理由．（5分）
（1）连接 ,由勾股定理求得：
1分
2分
（2）连接 并延长,与弧 和 交于 ,
1分
弧 的长： 2分
圆锥的底面直径为： 3分
, 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．4分
（3）由勾股定理求得：
弧 的长： 1分
圆锥的底面直径为： 2分
且
3分
即无论半径 为何值, 4分
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
7、（河南）如图,对称轴为直线x＝ 的抛物线经过点A（6,0）和B（0,4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x,y）是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标；若不存在,请说明理由．
8、（湖北黄岗）已知：如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是 ,点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,设 秒后,直线PQ交OB于点D.
（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A,B,C三点的抛物线的解析式；
（3）当 时,求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与 相似?当a 为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与 不相似?请给出你的结论,并加以证明.
9、（湖北荆门）如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合．
(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值；
(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由；若存在,求出点Q的坐标．
(1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°,∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分
∴ ．即 ．∴y= (0＜x＜4)．
且当x=2时,y有最大值 ．…………………………………………………4分
(2)由已知,△PAB、△POE均为等腰三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3)．……6分
设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c,则 ∴
y= ．…………………………………………………………8分
(3)由(2)知∠EPB=90°,即点Q与点B重合时满足条件．……………………9分
直线PB为y=x－1,与y轴交于点(0,－1)．
将PB向上平移2个单位则过点E(0,1),
∴该直线为y=x＋1．……………………………………………………………10分
由 得 ∴Q(5,6)．
故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件．……………………………12分
