已知函数f(x)＝2cos2(x+π12)+2sinxcosx−3．
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解题思路：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数的解析式进行化简整理，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）根据题意可把问题转化为求函数
t＝f(x+
π
12
)+sinx
的值域，进而根据二倍角公式对函数t的解析式整理后，利用二次函数的性质和sinx的范围确定函数t的值域，答案可得．
（Ⅰ）∵f(x)＝2cos2(x+
π
12)+2sinxcosx−3
=cos(2x+
π
6)+sin2x−2=
3
2cos2x+
1
2sin2x−2
=sin(2x+
π
3)−2．
其最小正周期为T=[2π/2]=π
（Ⅱ）方程f(x+
π
12)+sinx−t＝0恒有实数解，等价于求函数t＝f(x+
π
12)+sinx的值域．
∵t＝f(x+
π
12)+sinx＝sin[2(x+
π
12)+
π
3]+sinx−2
=cos2x+sinx-2=-2sin2x+sinx-1=−2(sinx−
1
4)2−
7
8．
∵-1≤sinx≤1，∴t∈[−4，−
7
8]．
点评：
本题考点： 二倍角的正弦；二倍角的余弦．
考点点评： 本题主要考查了二倍角公式的应用，两角和公式的化简求值以及三角函数的周期性等．考查了学生综合分析和解决问题的能力．
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