（2013•樊城区模拟）如图，在直角梯形ABCD中 - 已解决

（2013•樊城区模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且DE平分∠ADC，CE平

（2013•樊城区模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则下列结论中正确的有（　　）

①DE⊥EC；②∠ADE=∠BEC；③AD•BC=BE•AE；④CD=AD+BC．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

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解题思路：①运用角平分线的性质及平行线的性质，易得到∠ADC+∠BCD=90°，再通过三角形的内角和为180°，求得∠CED=90°，问题得证；

②先由平行线的性质得出∠A=180°-∠B=90°，再根据同角的余角相等即可证明∠ADE=∠BEC；

③先根据有两角对应相等的两三角形相似得出△ADE∽△BEC，再利用相似三角形的对应边成比例，即可证得AD•BC=BE•AE；

④过E作EF⊥CD于点F．通过角角边定理证得△AED≌△FED，△BCE≌△FCE，再利用全等三角形的性质证得BC=FC，AD=FD．问题得解．

①∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，

∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠BCE，

∴∠DCE+∠CDE=90°，

∴DE⊥EC；

故本选项正确；

②∵AD∥BC，∠B=90°，

∴∠A=180°-∠B=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°．

由①知∠DEC=90°，

∴∠BEC+∠AED=90°，

∴∠ADE=∠BEC；

故本选项正确；

③在△ADE与△BEC中，

∠A＝∠B＝90°

∠ADE＝∠BEC，

∴△ADE∽△BEC，

∴[AD/BE]=[AE/BC]，

∴AD•BC=BE•AE；

故本选项正确；

④过E作EF⊥CD于点F，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE．

在△AED与△FED中，

∠A＝∠EFD＝90°

∠ADE＝∠FDE

DE＝DE，

∴△AED≌△FED（AAS），

∴AD=FD，

同理，△BCE≌Rt△FCE，

∴BC=FC，

又∵CF+FD=BC，

∴AD+BC=DC，

即CD=AD+BC；

故本选项正确．

故选D．

点评：

本题考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；直角梯形．

考点点评：本题主要考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握三角形全等、相似的三角形判定定理、性质定理，做到灵活运用．

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