已知函数f(x)＝x2+ax+1（其中a∈R）．
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解题思路：（I）欲求实数a、b的值，利用在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
由f(x)＝
x2+a
x+1，可得f′(x)＝
x2+2x−a
(x+1)2．…．（2分）
（Ⅰ）因为函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝
1
2x+b，得：
f′(1)＝
1
2
f(1)＝
1
2+b…．（4分）
解得
a＝1
b＝
1
2…．（5分）
（Ⅱ）令f'（x）＞0，得x2+2x-a＞0…①…．（6分）
当△=4+4a≤0，即a≤-1时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（-1，+∞）．…．（8分）
当△=4+4a＞0，即a＞-1时，不等式①的解为x＞−1+
1+a或x＜−1−
1+a，
…．（10分）
又因为x≠-1，所以此时函数f（x）的单调递增区间为(−∞，−1−
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性，是一道中档题．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
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