已知函数f（x）= 2 x +alnx-2 （a＞0）．
1个回答
（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f ′（x）= -
2
x 2 +
a
x ，∴f ′（1）=-2+a，
∵直线y=x+2的斜率为1，∴-2+a=-1，解得a=1，
所以f（x）=
2
x +lnx-2 ，∴f ′（x）= -
2
x 2 +
1
x =
x-2
x 2 ，
由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（II）依题得g（x）=
2
x +lnx+x-2-b ，则 g ′ (x)=-
2
x 2 +
1
x +1 =
x 2 +x-2
x 2 ．
由g ′（x）＞0解得x＞1；由g ′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又∵函数g（x）在区间[
1
e ，e]上有两个零点，∴
g(
1
e )≥0
g(e)≥0
g(1)＜0 ，
解得1＜b≤
2
e +e-1 ，∴b的取值范围是（1，
2
e +e-1 ]．
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