已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆c：(X-2)^2+(Y-3)^2=1,相交于M,N两
1个回答
解答如下：
设直线方程为y - 1 = kx
y - kx - 1 = 0
圆心为（2,3）,半径为1,所以圆心到直线的距离为
|3 - 2k - 1|/√（k² + 1）
要使直线和圆有两个交点
所以圆心到直线的距离小于半径
|3 - 2k - 1|/√（k² + 1）＜ 1
（2 - 2k）² ＜ k² + 1
4k² - 8k + 4 ＜ k² + 1
3k² - 8k + 3 ＜ 0
所以（4 - √7）/3 ＜ k ＜ （4 + √7）/3
y = kx + 1代入圆的方程
（x - 2）² + （kx - 2）² = 1
（1 + k²）x² - （4 + 4k）x + 7 = 0
因为交点为M和N,所以解出来的两个x为M和N的横坐标
记为x1和x2
根据韦达定理有,x1 + x2 = （4 + 4k）/（1 + k²）
x1 x2 = 7/（1 + k²）
OM * ON = （x1,y1）（x2,y2）
= x1x2 + y1y2
= 7/（1 + k²）+ （kx1 + 1）（kx2 + 1）
= 7/（1 + k²）+ k² * 7/（1 + k²）+ k（4 + 4k）/（1 + k²）+ 1
= 8 + k（4 + 4k）/（1 + k²）= 12
所以k（4 + 4k）/（1 + k²）= 4
4k + 4k² = 4 + 4k²
解得k = 1
相关问题
