一辆卡车高3米宽1.6米,欲通过抛物线型隧道,若拱口宽为a,求能使卡车通过的a的最小值
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【分析】根据问题的实际意义,卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4米到2米间的道路行驶为最佳路线,因此,卡车能否安全通过,取决于距隧道中线2米(即在横断面上距拱口中点2米)处隧道的高度是否够3米,据此可通过建立坐标系,确定出抛物线的方程后求得.
【解】以拱口AB所在直线为x轴,以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系,由题意可得抛物线的方程为x^2=-2p(y-a/4),
∵点A(-a/2,0)在抛物线上.
∴(-a/2)^2=-2p(0-a/4),得p=a/2,
∴抛物线方程为x^2=-a(y-a/4).
取x=1.6+0.4=2代入抛物线方程得
2^2=-a(y-a/4),y=(a^2-16)/(4a),
由题意令y>3,得(a^2-16)/(4a),>3,
∵a>0
∴a2-12a-16>0,
∴a>6+2√13,
又∵a∈Z,
∴a应取14,15,16,…
【答】满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14米.
【评述】 本题的解题过程可归纳为两步,一是根据实际问题的意义,确定解题途径,得到距拱口中点2米处y的值,二是由y>3通过解不等式,结合问题的实际意义和要求得到a的值,值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.
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