有第一类间断点的函数可积分吗?同济第五版上册226页定理2:函数在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数在[a,b
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你这里的 “可积” 和 “有原函数” 是两个概念,并不矛盾.

这里的 “可积” 指的是 “Riemann可积”,即可求定积分,你提到的定理 2 给出了一个可积函数类.而 “f(x) 有原函数” 指的是 “存在函数 F(x),使 F‘(x) = f(x)”.可求定积分的函数未必有原函数,例如 Riemann 函数

R(x) = 1/q,x = p/q,p 与 q 是互质的整数,

= 0, x 为无理数,

在 [0, 1] 是可积的,但没有原函数.

你的 “有第一类间断点的函数一定没有原函数” 我没有找到反例,但我有一个有第二类间断点的函数有原函数的例子：

F(x) = (x^2)sin(1/x),x≠0,

= 0, x=0,

其导函数

F’(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x),x≠0,

= 0, x=0,

在 x=0 有第二类间断点.

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