1、(a1+a2+a3+a4+a5)(a1-a2+a3-a4+a5)
=a1^2-a2^2+a3^2-a4^2+a5^2+(-a1a2+a1a3-a1a4+a1a5+a2a1+a2a3-a2a4+a2a5+a3a1-a3a2-a3a4+a3a5+a4a1-a4a2+a4a3+a4a5+a5a1-a5a2+a5a3-a5a4)
=a1^2-a2^2+a3^2-a4^2+a5^2+(2a1a3+2a1a5-2a2a4+2a3a5)
由于{an}为等比数列,则aiaj=aman,当i+j=m+n时.
所以,对上式,a1a3=a2^2,a1a5=a2a4=a3^2,a3a5=a4a^2
则上式=a1^2+(-a2^2+2a1a3)+(a3^2+2a1a5-2a2a4)+(-a4^2+2a3a5)+a5^2
=a1^2+a2^2+a3^2+a4^2+a5^2
=12
所以,(a1-a2+a3-a4+a5)
=(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2+a5^2)/(a1+a2+a3+a4+a5)
=12/3=4
2、（1）a(n)=S(n)-S(n-1),n≥2
则S(n)-S(n-1)+2S(n)S(n-1)=0,n≥2
两边同除以S(n)S(n-1)得：1/S(n-1)-1/S(n)+2=0
所以得：1/S(n)-1/S(n-1)=2,n≥2；并且S(1)=a(1)=1/2,1/S(1)=2
即{1/S(n)}是公差为2的等差数列.
（2）等差数列{1/S(n)}以2为首项,2为公差,
则其通项为1/S(n)=2+2(n-1)=2n
所以S(n)=1/(2n),S(n-1)=1/[2(n-1)],
则a(n)=1/(2n)-1/[2(n-1)],n≥2
故a(n)=1/2,当n=1；a(n)=1/(2n)-1/[2(n-1)],当n≥2
（3）（取b(1)=2×0×a(1)=0)
n≥2时,b(n)=2(1-n)a(n)=(1-n)/n+1=1/n
则b1^2+b2^2+···+bn^2
=0+(1/2)^2+(1/3)^2+…+(1/n)^2
＜0+1×(1/2)+(1/2)×(1/3)+…+1/(n-1)×1/n
=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+…+1/(1-n)-1/n
=1-1/n
＜1
3、（1）n=1时,a(1)=T(1)=1/2,(又a(2)=2/3,T(2)=1/3)
n≥2时,T(n)=T(n-1)a(n)=1-a(n)
则T(n-1)=[1-a(n)]/a(n)=T(n)/a(n)=T(n)/[1-T(n)]
所以1/T(n-1)=[1-T(n)]/T(n)=1/T(n)-1
1/T(n)-1/T(n-1)=1,n≥2,且1/T(1)=2
所以,{1/T(n)}是首项为2,公差为1的等差数列.
（2）由（1）有1/T(n)=2+1(n-1)=n+1
则T(n)=1/(n+1)
所以当n≥2时,a(n)=T(n)/T(n-1)=1/(n+1)÷1/n
显然,n=1时a(1)=1/2也符合上式,
故a(n)=n/(n+1)
（3）对于b(n),有
b(1)=S(1)=1-b(1),b(1)=1/2
b(2)+b(1)=S(2)=1-b(2),b(2)=1/4
b(3)+b(2)+b(1)=S(3)=1-b(3),b(3)=1/8
猜想b(n)=1/(2^n)
以下用数学归纳法作简要证明：n=1时,上述已证成立；假设n=k时成立,则n=k+1时,
S(k+1)=S(k)+b(k+1)=1-1/(2^k)+1/[2^(k+1)]=1-1/[2^(k+1)]=1-b(k+1)
所以猜想成立,即b(n)=1/(2^n)
此时,
T(n)[nb(n)+n-2]
=1/(n+1)[n/(2^n)+n-2]
=n/[(n+1)(2^n)]+(n-2)/(n+1)＜1+1=2
即左边的值恒小于2
从整个不等式看,
k≥T(n)b(n)+T(n)(n-2)/n
=1/[(n+1)(2^n)]+(n-2)/[n(n+1)]
……
可能到后面方法错了）
打字很辛苦的,求追加分数,嘿嘿
