已知f（x）=lnx-x2+bx+3．
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解题思路：（Ⅰ）首先求出函数的导数f′（x），令x=2求出函数f（x）在点（2，y）的斜率，然后根据函数f（x）在点（2，y）处的切线与直线2x+y+2=0垂直，求出函数f（x）的表达式，根据导数判断函数的单调性，从而求函数f（x）在区间[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函数的单调区间，可知y=2x-[1/x]在[1，m]上单调递增，在[1，m]上恒成立，从而求出b的取值范围．
（1）f′(x)＝
1
x−2x+b直线2x+y+2=0斜率为-2，
令f′（2）=[1/2]得b=4，∴f（x）=lnx-x2+4x+3
∴f′(x)＝
1
x−2x+4＝
−2x2+4x+1
x＝0得x＝
2±
6
2
∵6+ln3＞6，∴x=1时，f（x）在[1，3]上最小值6；（6分）
（2）令f′(x)＝
1
x−2x+b≥0得b≥2x-[1/x]，
在[1，m]上恒成立而y=2x-[1/x]在[1，m]上单调递增，
最大值为2m-[1/m]，∴b≥2m-[1/m]
令f′(x)＝
1
x−2x+b≤0得b≤2x-[1/x]，
在[1，m]上恒成立而y=2x-[1/x]在[1，m]单调递增，最小值为y=1，
∴b≤1
故b≥2m-[1/m]或b≤1时f（x）在[1，m]上单调． （12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．
考点点评： 此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，需要掌握并会熟练运用导数判断函数的单调性．
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