已知函数f（x）=ax，g（x）=b•2x的图象都经过点A（4，8），数列{an}满足：a1=1，an=f（an-1）+
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解题思路：（Ⅰ）由题意列出方程即可求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得an=f（an-1）+g（n）=2an-1+2n-1，即an=2an-1+2n-1，两边同除以2n-1得an2n−1-an−12n−2=1，即可得出结论；（Ⅲ）当n=1时，1a1=11×21−1=1＜32，当n≥2时，1an=1n2n−1≤12•2n−1=12n利用不等式放缩可得1a1+1a2+…+1an≤1+122+123+…+12n=1+14(1−12n−1)1−12=32-12n＜32．
（Ⅰ）∵函数f（x）=ax，g（x）=b•2x的图象都经过点A（4，8），
∴
4a＝8
16b＝8解得a=2，b=[1/2]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2x，g（x）=2x-1，
∴an=f（an-1）+g（n）=2an-1+2n-1，即an=2an-1+2n-1，
两边同除以2n-1得
an
2n−1-
an−1
2n−2=1，又
a1
21−1=1，
∴数列{
an
2n−1}是首项和公差都为1的等差数列．
∴
an
2n−1=n，an=n2n-1．
（Ⅲ）∵an=n2n-1．∴[1
an=
1
n2n−1
①当n=1时，
1
a1=
1
1×21−1=1＜
3/2]，
②当n≥2时，[1
an=
1
n2n−1≤
1
2•2n−1=
1
2n
∴
1
a1+
1
a2+…+
1
an≤1+
1
22+
1
23+…+
1
2n=1+
1/4(1−
1
2n−1)
1−
1
2]=[3/2]-[1
2n＜
3/2]，
综上所述[1
a1+
1
a2+…+
1
an＜
3/2]对一切正整数n都成立．
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．
考点点评： 本题主要考查等差数列的定义及利用方程思想、不等式放缩思想解决问题的方法，考查学生的分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，逻辑性强，属难题．
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