一道数学中考题最后一问，求解图不好画，我尽量说详细一点。y=-x²-2x+3 顶点C(-2,3) 与X轴交点A
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解:这最后一问应该分两种情况.
1)当点P在X轴上方CH左侧抛物线上时:
取点H关于AC的对称点E,连接CE,EA.连接EH交AC于G,则AC垂直平分EH.
AH=2,CH=4,则AC=2√5.
由面积关系知:AC*GH=AH*CH,2√5*GH=2*4,GH=4/√5,EH=2GH=8/√5=8√5/5.
作EF垂直X轴于F,则⊿HFE∽⊿CHA,EF/AH=HE/CA,EF/2=(8√5/5)/(2√5)=4/5,EF=8/5.
同理可求:HF=16/5,OF=HF+OH=21/5.即点E的坐标为(-21/5,8/5).
利用E,C两点的坐标可求得直线EC的解析式,把它与抛物线y=-x²-2x+3联立方程组即可求得点P的横坐标与纵坐标;
【理由:若过点P作PQ垂直AC于Q,∠PCQ=∠ACH,∠PQC=∠AHC=90°.故⊿PQC∽⊿AHC.】
2)当点P在X轴上方AH右侧的抛物线上时:
作AC的中垂线,交X轴于J,交AC于I,连接CJ,交抛物线于P,则∠PCA=∠HAC;若再作PQ垂直AC于Q,
∠PQC=∠CHA=90度,可知⊿PQC∽⊿CHA.如何求点P的坐标呢?
∵∠AJI=∠ACH(均为角HAC的余角);
∠JAI=∠CAH.
∴⊿JAI∽⊿CAH,又AH=2,CH=4,AC=2√5,AI=AC/2=√5.
则JA/CA=AI/AH,JA/(2√5)=√5/2, JA=5,则OJ=2,点J为(2,0).
同样利用点J和C两点的坐标即可求得直线JC的解析式,把它与抛物线y=-x²-2x+3联立方程组即可求得这种情况下点P的横坐标与纵坐标了.
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