已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′ - 已解决

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有

f(x)≥0，则

f(1)

f′(0)

的最小值为（　　）

A. 2

B. [5/2]

C. 3

D. [3/2]

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解题思路：由对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．

∵f（x）≥0，知

a>0

△＝b2−4ac≤0，∴c≥

4a．

又f′（x）=2ax+b，

∴f′（0）=b>0，f（1）=a+b+c．

∴

f(1)

f′(0)＝1+

a+c

b≥1+

b=1+

4a2+b2

4ab≥1+

4a2b2

4ab=2．

当且仅当4a²=b²时，“=”成立．

故选A．

点评：

本题考点：导数的运算；函数恒成立问题；基本不等式．

考点点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了导数的运算，训练了利用基本不等式求最值，关键是通过放缩转化为含有两个变量的代数式，是中档题．

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