设等差数列{a n }的前n项和为S n ，且a 5 +a 13 =34，S 3 =9．数列{b n }的前n项和为T
1个回答
（1）设数列{a n}的首项为a 1，公差为d，由已知，有
2 a 1 +16d=34
3 a 1 +3d=9 ，…（2分）
解得a 1=1，d=2，…（3分）
所以{a n}的通项公式为a n=2n-1（n∈N *）．…（4分）
（2）当n=1时，b 1=T 1=1-b 1，所以 b 1 =
1
2 ．…（1分）
由T n=1-b n，得T n+1=1-b n+1，两式相减，得b n+1=b n-b n+1，
故 b n+1 =
1
2 b n ，…（2分）
所以，{b n}是首项为
1
2 ，公比为
1
2 的等比数列，所以 b n =(
1
2 ) n ．…（3分）
1
a m +9 =
1
2m+8 =
1
2(m+4) ，…（4分）
要使
1
a m +9 是{b n}中的项，只要m+4=2 n即可，可取m=4．…（6分）
（3）由（1）知， c n =
2n-1
2n-1+t ，…（1分）
要使c 1，c 2，c k成等差数列，必须2c 2=c 1+c k，即
6
3+t =
1
1+t +
2k-1
2k-1+t ，…（2分）
化简得 k=3+
4
t-1 ．…（3分）
因为k与t都是正整数，所以t只能取2，3，5．…（4分）
当t=2时，k=7；当t=3时，k=5；当t=5时，k=4．…（5分）
综上可知，存在符合条件的正整数t和k，所有符合条件的有序整数对（t，k）为：（2，7），（3，5），（5，4）．…（6分）
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